выше описка во фразе "заболели во время больничного", остальное верно. если вы выходите из отпуска или приезжаете из командировки и приносите больничный лист, то бухгалтер регистрирует прерывание отпуска\командировки на время болезни, время болезни оплачивается по правилам расчета больничного, отгуленное время отпуска - по правилам расчета отпускных. (точнее, регистрирует обычно сотрудник отдела кадров, а считает уже бухгалтер)
Есть ли ограничение на то, когда надо использовать освободившиеся дни отпуска - не знаю, думаю что нет, они возвращаются на баланс, можно использовать их для нового отпуска, хоть сразу по окончанию предыдущего отпуска\больничного, хоть потом.
Отпуск по уходу за ребенком в этом отношении ничем не отличается, можно не выходя из первого взять второй (если второй ребенок появился), законодательство не запрещает.
Кстати, некоторое время назад в законе была ошибка, которая приводила к тому, что если выйдя из первого отпуска мать отработала несколько дней и взяла второй (речь про отпуск по уходу за ребенком), то ей полагалась очень большая компенсация, но эту ошибку уже исправили.